حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{3} + x y = 8$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{3} + x y) = \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{3} + x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.6

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + x y' + y$

خطوة 3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + x y' + y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} x y' + x y' + y = - y^{3}$

خطوة 5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} x y' + x y' = - y^{3} - y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x y'$ من $3 y^{2} x y' + x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $3 y^{2} x y'$ .

$x y' (3 y^{2}) + x y' = - y^{3} - y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $x y'$ .

$x y' (3 y^{2}) + x y' \cdot 1 = - y^{3} - y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' (3 y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$ على $x (3 y^{2} + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$ على $x (3 y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (3 y^{2} + 1)}{x (3 y^{2} + 1)} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (3 y^{2} + 1)}{x (3 y^{2} + 1)} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} - \frac{y}{x (3 y^{2} + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} - \frac{y}{x (3 y^{2} + 1)}$