حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$16 e^{y} = x^{4} - y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (16 e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$16 (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$16 (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$16 e^{y} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x^{3} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x^{3} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x^{3} - (3 y^{2} y')$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$16 e^{y} y' = 4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $16 e^{y} y'$ .

$16 y' e^{y} = 4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

خطوة 5.2

أضف $3 y^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$16 y' e^{y} + 3 y^{2} y' = 4 x^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $16 y' e^{y} + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $16 y' e^{y}$ .

$y' (16 e^{y}) + 3 y^{2} y' = 4 x^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (16 e^{y}) + y' (3 y^{2}) = 4 x^{3}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (16 e^{y}) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$ على $16 e^{y} + 3 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$ على $16 e^{y} + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (16 e^{y} + 3 y^{2})}{16 e^{y} + 3 y^{2}} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16 e^{y} + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (16 e^{y} + 3 y^{2})}{16 e^{y} + 3 y^{2}} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$