حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (y^{2}) + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{y} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} y'$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

خطوة 5.3

اطرح $y' e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

خطوة 5.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' \sin (y^{2})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $- 1 e^{y}$ بالصيغة $- e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

خطوة 5.7

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ على $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ على $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

خطوة 5.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

خطوة 5.7.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

خطوة 5.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

خطوة 5.7.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y \sin (y^{2})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

خطوة 5.7.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{y}$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

خطوة 5.7.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

خطوة 5.7.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ بالصيغة $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

خطوة 5.7.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

خطوة 5.7.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

خطوة 5.7.3.5.4

اضرب $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ في $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$