حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2} = 10 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}) = \frac{d}{d x} (10 x^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + y^{3} - \frac{4 y}{x + 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{4 y}{x + 2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{4 y}{x + 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [\frac{y}{x + 2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = x + 2$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.7

أضف $1$ و $0$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 + 3 y^{2} y' - 4 \frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.9

اجمع $- 4$ و $\frac{(x + 2) y' - y}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$3 + 3 y^{2} y' + \frac{- 4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 ((x + 2) y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y' + 2 y' - y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 (x y') + 4 (2 y') + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' + 4 (- y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$3 + 3 y^{2} y' - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.3

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{4 x y' + 8 y' - 4 y}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$10 (2 x)$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $10$ .

$20 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' + \frac{3 {(x + 2)}^{2} - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 ((x + 2) (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.2

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.3.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 (x^{2} + 4 x + 4) - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.5.2

اضرب $3$ في $4$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y' + 8 y' - 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - (4 x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - (8 y') - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.7.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' - (- 4 y)}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.7.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x y') - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.1.8

احذِف الأقواس.

$3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, {(x + 2)}^{2}, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

${(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ في ${(x + 2)}^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $3 y^{2} y' + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} = 20 x$ في ${(x + 2)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + \frac{3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 20 x {(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x {(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $20 x {(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أعِد الكتابة.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 0 + 0 + 20 x {(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.4.1.2

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x ((x + 2) (x + 2))$

خطوة 5.4.1.3

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

خطوة 5.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

خطوة 5.4.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 5.4.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 5.4.1.4.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 5.4.1.4.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

خطوة 5.4.1.4.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x (x^{2} + 4 x + 4)$

خطوة 5.4.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x \cdot x^{2} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 (x^{2} x^{1}) + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{2 + 1} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 x (4 x) + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 20 x \cdot 4$

خطوة 5.4.1.6.3

اضرب $4$ في $20$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x \cdot x + 80 x$

خطوة 5.4.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.7.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.7.1.1

انقُل $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 (x \cdot x) + 80 x$

خطوة 5.4.1.7.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 20 \cdot 4 x^{2} + 80 x$

خطوة 5.4.1.7.2

اضرب $20$ في $4$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x$

خطوة 5.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 x + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2}$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $12 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} + 12 - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x$

خطوة 5.4.2.3

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' + 4 y = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12$

خطوة 5.4.2.4

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x - 3 x^{2} - 12 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.2.5

اطرح $3 x^{2}$ من $80 x^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 80 x - 12 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.2.6

اطرح $12 x$ من $80 x$ .

$3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2} - 4 x y' - 8 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' {(x + 2)}^{2}$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) - 4 x y' - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) - 8 y' = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 8 y'$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8 = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x) + y' \cdot - 8$ .

$y' (3 y^{2} {(x + 2)}^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.4

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$y' (3 y^{2} ((x + 2) (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.5

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.6.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.6.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.6.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$y' (3 y^{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.7

طبّق خاصية التوزيع.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 y^{2} (4 x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.8.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 3 y^{2} \cdot 4 - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.8.2

اضرب $4$ في $3$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot (4 y^{2} x) + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.9

اضرب $3$ في $4$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$

خطوة 5.4.10

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ على $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8) = 20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12 - 4 y$ على $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.4.10.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.1.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{- 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{20 x^{3}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $20 x^{3} + 77 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + 77 x^{2}}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.2.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $77 x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.2.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (20 x) + x^{2} \cdot 77$ .

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} + \frac{68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{x^{2} (20 x + 77) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (20 x + 77) + 68 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (20 x + 77)$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + 68 x}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $68 x$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (x (20 x + 77)) + x \cdot 68$ .

$y' = \frac{x (x (20 x + 77) + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{x (x (20 x) + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + x \cdot 77 + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.4

انقُل $77$ إلى يسار $x$ .

$y' = \frac{x (20 x \cdot x + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.2.5.1

انقُل $x$ .

$y' = \frac{x (20 (x \cdot x) + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.2.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 \cdot x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{x (20 x^{2} + 77 x + 68) - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{x (20 x^{2}) + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + x (77 x) + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + x \cdot 68 - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.2.3

انقُل $68$ إلى يسار $x$ .

$y' = \frac{20 x \cdot x^{2} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$y' = \frac{20 (x^{2} x) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{20 (x^{2} x^{1}) + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{20 x^{2 + 1} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x \cdot x + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.3.2.1

انقُل $x$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 (x \cdot x) + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 \cdot x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4

أعِد كتابة $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.1

حلّل $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2, \pm 12, \pm 0.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.15, \pm 0.75, \pm 4, \pm 0.8$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

$20 {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$20 \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.3

اضرب $20$ في $- 8$ .

$- 160 + 77 {(- 2)}^{2} + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.4

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 160 + 77 \cdot 4 + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.5

اضرب $77$ في $4$ .

$- 160 + 308 + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.6

أضف $- 160$ و $308$ .

$148 + 68 \cdot - 2 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.7

اضرب $68$ في $- 2$ .

$148 - 136 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.8

اطرح $136$ من $148$ .

$12 - 12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.3.9

اطرح $12$ من $12$ .

$0$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12}{x + 2}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5

اقسِم $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$20 x^{3}$

$77 x^{2}$

$68 x$

$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $20 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$20 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			+	$20 x^{3}$	+	$40 x^{2}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $20 x^{3} + 40 x^{2}$

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$20 x^{2}$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $37 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					+	$37 x^{2}$	+	$74 x$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $37 x^{2} + 74 x$

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x - 12$

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$20 x^{2}$	+	$37 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$20 x^{3}$	+	$77 x^{2}$	+	$68 x$	-	$12$
			-	$20 x^{3}$	-	$40 x^{2}$
					+	$37 x^{2}$	+	$68 x$
					-	$37 x^{2}$	-	$74 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$20 x^{2} + 37 x - 6$

خطوة 5.4.10.3.4.4.1.6

اكتب $20 x^{3} + 77 x^{2} + 68 x - 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ ومجموعهما $b = 37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.1.1

أخرِج العامل $37$ من $37 x$ .

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + 37 (x) - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.1.2

أعِد كتابة $37$ في صورة $- 3$ زائد $40$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} + (- 3 + 40) x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{(x + 2) (20 x^{2} - 3 x + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x^{2} - 3 x) + 40 x - 6)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y' = \frac{(x + 2) (x (20 x - 3) + 2 (20 x - 3))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.4.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $20 x - 3$ .

$y' = \frac{(x + 2) ((20 x - 3) (x + 2))}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

$y' = \frac{(x + 2) (20 x - 3) (x + 2)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.4.5.1

ارفع $x + 2$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.5.2

ارفع $x + 2$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{1 + 1} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.4.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3)}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8} - \frac{4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x - 3) - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{{(x + 2)}^{2} (20 x) + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x + {(x + 2)}^{2} \cdot - 3 - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.6.3

انقُل $- 3$ إلى يسار ${(x + 2)}^{2}$ .

$y' = \frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 5.4.10.3.7

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{20 {(x + 2)}^{2} x - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$ .

$y' = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x {(x + 2)}^{2} - 3 {(x + 2)}^{2} - 4 y}{3 y^{2} x^{2} + 12 y^{2} x + 12 y^{2} - 4 x - 8}$