حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \sqrt{1 + \cot (3 t)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + \cot (3 t)}$ في صورة ${(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ({(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $x$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 1 + \cot (3 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cot (3 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

خطوة 4.6.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

خطوة 4.6.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cot (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.7.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع $\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ و $\csc^{2} (3 t)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 4.8.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.8.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.8.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 4.8.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$