حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x y + \ln (x^{2} y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

خطوة 2.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

خطوة 2.4.3.2

اجمع $\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ و $y'$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

خطوة 2.4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

خطوة 2.4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

خطوة 2.4.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

خطوة 2.4.3.5

اجمع $y$ و $\frac{2}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

خطوة 2.4.3.6

اجمع $\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ و $x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

خطوة 2.4.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

خطوة 2.4.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

خطوة 2.4.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.9.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.9.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

خطوة 2.4.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

خطوة 2.4.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, 1, y, x, 1$

خطوة 5.1.2

بما أن $1, 1, y, x, 1$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $1, 1, 1, 1, 1$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{1}, x^{1}$ .

خطوة 5.1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 5.1.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 5.1.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 5.1.6

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.1.7

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x^{1} = x$

تحدث $x$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.1.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}, x^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y x$

خطوة 5.2

اضرب كل حد في $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ في $y x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب كل حد في $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ في $y x$ .

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

انقُل $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

خطوة 5.2.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $0 (y x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

اضرب $y$ في $0$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

خطوة 5.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اطرح $4 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

خطوة 5.3.1.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x y'$ من $4 x^{2} y' y + y' x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $4 x^{2} y' y$ .

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $y' x$ .

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ على $x (4 x y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ على $x (4 x y + 1)$ .

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.2

لكتابة $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(4 x y + 1) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.3.1

اضرب $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(4 x y + 1) x$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.5

أخرِج العامل $2 y$ من $- 4 y^{2} x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.5.1

أخرِج العامل $2 y$ من $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.5.2

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.5.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.9.1

أعِد كتابة $- (2 y x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 y x + 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 5.3.3.3.9.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ .

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$