حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

خطوة 2.3

اضرب $15$ في $1$ .

$15$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.3.4

اضرب $3$ في $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

خطوة 3.4.4

اضرب $5$ في $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $15 y'$ من $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

خطوة 5.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $y^{4} + y^{2} + 1$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أعِد كتابة الحد الأوسط.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

خطوة 5.4.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

خطوة 5.4.1.3

حلّل الحدود الثلاثة الأولى إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

خطوة 5.4.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y^{2} + 1$ و $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

خطوة 5.4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

خطوة 5.4.1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

خطوة 5.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ على $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ على $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$