حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{y} + 1 = x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + 1) = \frac{d}{d x} (x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $x e^{y} y' + e^{y}$ و $0$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} x y' + e^{y}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} x y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x e^{y} y' + e^{y} = x y' + y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = x y' + y$

خطوة 5.2

اطرح $x y'$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} + e^{y} - x y' = y$

خطوة 5.3

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} - x y' = y - e^{y}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' e^{y} - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' e^{y}$ .

$x y' e^{y} - x y' = y - e^{y}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x y'$ من $- x y'$ .

$x y' e^{y} + x y' \cdot - 1 = y - e^{y}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' e^{y} + x y' \cdot - 1$ .

$x y' (e^{y} - 1) = y - e^{y}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $x y' (e^{y} - 1) = y - e^{y}$ على $x (e^{y} - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $x y' (e^{y} - 1) = y - e^{y}$ على $x (e^{y} - 1)$ .

$\frac{x y' (e^{y} - 1)}{x (e^{y} - 1)} = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} + \frac{- e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (e^{y} - 1)}{x (e^{y} - 1)} = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} + \frac{- e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} + \frac{- e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} + \frac{- e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} + \frac{- e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} - \frac{e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (e^{y} - 1)} - \frac{e^{y}}{x (e^{y} - 1)}$