حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x y}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x y}$ في صورة ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 7.3

انقُل ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 8

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

اجمع $y$ و $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 11

اضرب $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق قاعدة الضرب على $x y$ .

$\frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.2.2

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$