حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(3 x y + 7)}^{2}$ بالصيغة $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

خطوة 2.2

وسّع $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $7$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $3$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $7$ في $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

خطوة 2.3.2

أضف $21 x y$ و $21 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.4.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.7

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.9.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.9.3

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $42 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $42 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.13

اضرب $y$ في $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 2.14

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

خطوة 2.15

أضف $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ و $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

خطوة 2.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

خطوة 2.16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

خطوة 2.16.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.3.1

اضرب $2$ في $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

خطوة 2.16.3.2

اضرب $2$ في $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $6 y'$ من كلا المتعادلين.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $18 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

خطوة 5.2.2

اطرح $42 y$ من كلا المتعادلين.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $6 y'$ من $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $6 y'$ من $18 x^{2} y y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $6 y'$ من $42 x y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $6 y'$ من $- 6 y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ على $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ على $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x^{2} y + 7 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $6$ من $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 42$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

أخرِج العامل $6$ من $- 42 y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2} x - 7 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.6.1

أعِد كتابة $- (3 y x + 7)$ بالصيغة $- 1 (3 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 5.4.3.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$