حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 9 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $9$ و $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{y}$ و $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.3.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ .

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

خطوة 5.2.2.1.2.2

أعِد ترتيب $5 y e^{y} \cos (5 x)$ و $y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y' y e^{y} \sin (5 x)$ من كلا المتعادلين.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ على $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ على $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$