حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x^{2}) = x e^{y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

خطوة 2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

خطوة 2.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$- 2 x \sin (x^{2})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

خطوة 3.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 x \sin (x^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$ .

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

خطوة 5.3

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ على $x e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ على $x e^{y}$ .

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 5.4.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$