حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

خطوة 4.2

حوّل من $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ إلى $\sec^{3} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

خطوة 4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x)$

خطوة 4.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

خطوة 4.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

خطوة 4.4.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

خطوة 4.4.5

اجمع $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ و $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

خطوة 4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$

خطوة 4.5.2

افصِل الكسور.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 4.5.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

خطوة 4.5.4

اضرب في $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x)$

خطوة 4.5.5

افصِل الكسور.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

خطوة 4.5.6

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 4.5.7

اقسِم $2$ على $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$