حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.2.5.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{3} - 4 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 2) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2, 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

خطوة 5.2.2

أضف $- 27$ و $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 15$ .

$- 15$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $- 15$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

خطوة 6.2.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$f' (- 1) = 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 2, 0)$ .

تزايد خلال $(- 2, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

خطوة 7.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (1) = - 3$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 2)$ .

تناقص خلال $(0, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

خطوة 8.2.2

اطرح $12$ من $27$ .

$f' (3) = 15$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 3$ هو $15$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 2, 0), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

خطوة 10