حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $4 x^{2} - 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $8 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.7

اطرح $8 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.7

أضف $- 8 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.5

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.7.1

أضف $8 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.7.2

انقُل $8$ إلى يسار $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.7.3

اضرب $8$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3

وسّع $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.2

اطرح $4 x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.6.1

اضرب $16$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 8$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.6.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 4$ في $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11

وسّع $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $64$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.6

اضرب $64$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.7

اضرب $4$ في $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.8

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.2

أضف $- 64 x^{3}$ و $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.3

أضف $256 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.2

أضف $- 128 x^{5}$ و $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.3

اطرح $16 x$ من $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

أخرِج العامل $8 x$ من $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $8 x$ من $128 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $8 x$ من $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $8 x$ من $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ ومجموعهما $b = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.4.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $- 4$ زائد $12$

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.6

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 x$ و $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.1

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5.3

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5.4

طبّق قاعدة الضرب على $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.6

احذِف العامل المشترك لـ $2 x + 1$ و ${(2 x + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.6.1

أخرِج العامل $2 x + 1$ من $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.6.2.1

أخرِج العامل $2 x + 1$ من ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

خطوة 1.2.5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

خطوة 1.2.5.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.7

احذِف العامل المشترك لـ $2 x - 1$ و ${(2 x - 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.1

أخرِج العامل $2 x - 1$ من $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.2.1

أخرِج العامل $2 x - 1$ من ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

خطوة 1.2.5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

خطوة 1.2.5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $4 x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $4 x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x^{2} + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} = - 3$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = - 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = - 3$ على $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

خطوة 2.3.3.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{3}{4}$ بالصيغة ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

خطوة 2.3.3.2.4.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

خطوة 2.3.3.2.4.1.3

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 2.3.3.2.4.1.4

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

خطوة 2.3.3.2.4.1.5

أعِد كتابة $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ بالصيغة ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.4.3

اجمع $\frac{i}{2}$ و $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.3.3.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.3.3.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.3.3.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

خطوة 3.1.2.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $8$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 0.8$ في $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $2$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 0.2$ و $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

اضرب $2$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.4

اطرح $1$ من $- 0.2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.5

ارفع $0.8$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.6

ارفع $- 1.2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $0.512$ في $- 1.728$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $- 2.432$ على $- 0.884736$ .

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $2.74884259$ .

$2.74884259$

خطوة 5.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $2.74884259$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $8$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $0.8$ في $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $2$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0.2$ و $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $2$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.4

اطرح $1$ من $0.2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.5

ارفع $1.2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.6

ارفع $- 0.8$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $1.728$ في $- 0.512$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $2.432$ على $- 0.884736$ .

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.74884259$ .

$- 2.74884259$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 2.74884259$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \infty)$

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

خطوة 8