حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

خطوة 2.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 3)}^{2}$ في $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

خطوة 2.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 3$ من ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.16

اجمع $6$ و $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.2.1

اضرب $- 3$ في $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.2.2

اضرب $6$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$- 18 x^{2} = - 18$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $- 18 x^{2} = - 18$ على $- 18$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 18 x^{2} = - 18$ على $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اقسِم $- 18$ على $- 18$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 3.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 3.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 3.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 3.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 3.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$f (1) = \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ هي $(1, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, \frac{1}{4})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ هي $(- 1, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, \frac{1}{4})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 18$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $- 21.78$ و $18$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1.21$ و $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $4.21$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 3.78$ على $74.618461$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.0506577$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 18$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف $0$ و $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 7.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $0.\overline{6}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 1)$ .

تزايد خلال $(- 1, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 18$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.3

أضف $- 21.78$ و $18$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $1.21$ و $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $4.21$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 3.78$ على $74.618461$ .

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $1.1$ يساوي $- 0.0506577$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \infty)$

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ .

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

خطوة 10