حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

خطوة 1

اكتب $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ في صورة دالة.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $42 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 42 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 42$ في $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $19$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $19$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ و $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $5$ في $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $210$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $210 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $4$ في $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 42$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $840 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ .

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 28$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 28$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 28 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $28$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 28$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 28$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $42$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $- 42$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $19$ .

$f (0) = 19$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $19$ .

$19$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ هي $(0, 19)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 19)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $28$ في $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $28$ في العبارة.

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $28$ إلى القوة $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $28$ إلى القوة $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $42$ في $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 42$ في $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $- 481890304$ و $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

خطوة 4.3.2.2.2

اطرح $1176$ من $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

خطوة 4.3.2.2.3

أضف $240943976$ و $19$ .

$f (28) = 240943995$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $240943995$ .

$240943995$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $28$ في $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ هي $(28, 240943995)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(28, 240943995)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 19), (28, 240943995)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 30$ في $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $840$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

خطوة 6.2.2

اطرح $0.84$ من $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.843$ .

$- 0.843$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.843$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 28)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $14$ في العبارة.

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $14$ إلى القوة $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 30$ في $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $14$ إلى القوة $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $840$ في $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

خطوة 7.2.2

أضف $- 1152480$ و $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1152480$ .

$1152480$

خطوة 7.3

في $14$ ، المشتق الثاني هو $1152480$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 28)$ .

تزايد خلال $(0, 28)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(28, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $28.1$ في العبارة.

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $28.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 30$ في $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $28.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $840$ في $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

خطوة 8.2.2

أضف $- 18704518.563$ و $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $28.1$ يساوي $- 66564.123$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(28, \infty)$

تناقص خلال $(28, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

خطوة 10