حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 8})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x - 9$ و $g (x) = 2 x + 8$ .

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $2 x + 8$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.11

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2.12.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 (2 x)$ و $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2

اطرح $2 \cdot 3 x$ من $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.3

أضف $3 \cdot 8$ و $0$ .

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2.2

اضرب $- 2$ في $- 9$ .

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.3

أضف $24$ و $18$ .

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x + 4)$ .

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $42$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $42$ .

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

خطوة 3.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

خطوة 3.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$