حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.2

اضرب $\ln (1)$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 6.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 6.3.6

لكتابة $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.7

اجمع $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.10

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.11.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 6.3.11.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2.2

اضرب $e^{3}$ في $1$ .

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2.4

اضرب $- - \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

خطوة 7.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

خطوة 7.2.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

خطوة 7.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 7.5

لكتابة $e^{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 7.6

اجمع $e^{3}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 7.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

خطوة 7.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

خطوة 7.9

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3}$ .

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

خطوة 7.10

اطرح $e^{3}$ من $3 e^{3}$ .

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

خطوة 7.11

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 7.12

اضرب $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

اضرب $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 7.12.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

الصيغة العشرية:

$4.57456376 \dots$