حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 2}^{- 1} 2 x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{- 2}^{- 1} x {(4 - x^{2})}^{3} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 4 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 4 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 2.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - {(- 2)}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

خطوة 2.3.2

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - {(- 1)}^{2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

خطوة 2.5.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{1 + 2}$

خطوة 2.5.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{upper} = 4 + {(- 1)}^{3}$

خطوة 2.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

خطوة 2.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int_{0}^{3} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{3} - \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int_{0}^{3} \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int_{0}^{3} u^{3} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{3})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{3})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{u^{4}}{4}$ في $3$ وفي $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

خطوة 10.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4})$

خطوة 10.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

خطوة 10.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

خطوة 10.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

خطوة 10.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1})$

خطوة 10.2.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0)$

خطوة 10.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0)$

خطوة 10.2.5

أضف $\frac{81}{4}$ و $0$ .

$- \frac{81}{4}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{81}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 20.25$

صيغة العدد الذي به كسر:

$- 20 \frac{1}{4}$

خطوة 12