حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 2.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

خطوة 2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{u_{2}}{2}$ في $e^{4}$ وفي $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

خطوة 5.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$4 e^{4} - 4$

الصيغة العشرية:

$214.39260013 \dots$

خطوة 7