حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط $2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

خطوة 1.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\ln (4)$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

خطوة 5.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

خطوة 5.2.4

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

خطوة 5.2.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.5$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{2}$

خطوة 7