حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \arctan (2 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (2 x)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . إذن $d u = 8 x d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$8 x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

خطوة 6.2

انقُل $8$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} + 1$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$