حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . إذن $d u_{2} = \cot (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أعِد ترتيب عوامل $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.5.3

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.5.4

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$