حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\cos (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 5

وسّع ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${(1 - u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 5.5

انقُل $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 5.6

انقُل $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.7

اضرب $1$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.11

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 5.13

أضف $2$ و $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 5.14

اطرح $u^{2}$ من $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 5.15

أعِد ترتيب $- 2 u^{2}$ و $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

خطوة 5.16

انقُل $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

خطوة 8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ و $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $\frac{1}{5} u^{5} + u$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.5

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.7

اضرب $\frac{1}{5}$ في $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.8

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.10

أضف $\frac{6}{5}$ و $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 13.3.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

خطوة 13.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.13.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

خطوة 13.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.13.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 13.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 13.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

خطوة 13.3.13.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

خطوة 13.3.14

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

خطوة 13.3.15

أضف $\frac{1}{3}$ و $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

خطوة 13.3.16

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

خطوة 13.3.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

خطوة 13.3.18

لكتابة $\frac{6}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 13.3.19

لكتابة $- \frac{2}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 13.3.20

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.20.1

اضرب $\frac{6}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 13.3.20.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 13.3.20.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

خطوة 13.3.20.4

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

خطوة 13.3.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

خطوة 13.3.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.22.1

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

خطوة 13.3.22.2

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

خطوة 13.3.22.3

اطرح $10$ من $18$ .

$\frac{8}{15}$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{8}{15}$

الصيغة العشرية:

$0.5\overline{3}$