حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\sin^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sin (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 6

وسّع ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة ${(1 - u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 6.5

انقُل $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 6.6

انقُل $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.7

اضرب $1$ في $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.11

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 6.13

أضف $2$ و $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 6.14

اطرح $u^{2}$ من $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 6.15

أعِد ترتيب $- 2 u^{2}$ و $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

خطوة 6.16

انقُل $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

خطوة 14

اجمع $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ و $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

خطوة 15

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

احسِب قيمة $\frac{u^{5}}{5} + u$ في $0$ وفي $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

خطوة 15.2

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $0$ وفي $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.7

أضف $1$ و $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.8

اطرح $\frac{6}{5}$ من $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.10.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 15.3.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

خطوة 15.3.12

اطرح $\frac{1}{3}$ من $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

خطوة 15.3.13

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

خطوة 15.3.14

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

خطوة 15.3.15

لكتابة $- \frac{6}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 15.3.16

لكتابة $\frac{2}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 15.3.17

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.17.1

اضرب $\frac{6}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 15.3.17.2

اضرب $5$ في $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 15.3.17.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

خطوة 15.3.17.4

اضرب $3$ في $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

خطوة 15.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

خطوة 15.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.19.1

اضرب $- 6$ في $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

خطوة 15.3.19.2

اضرب $2$ في $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

خطوة 15.3.19.3

أضف $- 18$ و $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

خطوة 15.3.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{8}{15}$

خطوة 15.3.21

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

خطوة 15.3.22

اضرب $\frac{8}{15}$ في $1$ .

$\frac{8}{15}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{8}{15}$

الصيغة العشرية:

$0.5\overline{3}$