حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{2 x}{3}$ . إذن $d u = \frac{2}{3} d x$ ، لذا $\frac{3}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{2 x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

خطوة 1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

خطوة 1.3.1.2.4

اقسِم $2 \cdot 0$ على $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اجمع $2$ و $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

خطوة 1.5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اختزِل العبارة $\frac{2 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

خطوة 1.5.2.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

خطوة 2.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

خطوة 2.4

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

خطوة 6.4

أضف $\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.5

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

الصيغة العشرية:

$1.29903810 \dots$