حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{8 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{8 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 2 \int e^{8 x} (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 (1)}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{8 x}}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{e^{8 x}}{8} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \int e^{8 x} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 8 x$ . إذن $d u = 8 d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 8 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $8$ في $1$ .

$8$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{8} d u)$

خطوة 9

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ بالصيغة $\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $\frac{1}{8}$ و $x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x}{8} e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.4

اجمع $\frac{x}{8}$ و $e^{8 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{64}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

خطوة 13.2.6

لكتابة $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot \frac{8}{8} + C$

خطوة 13.2.7

اجمع $- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

خطوة 13.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

خطوة 13.2.9

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 8 (\frac{1}{4}) (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.10

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 8}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.11.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 13.2.11.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15.2.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

خطوة 15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{8 x}}{64}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

خطوة 15.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

خطوة 15.3.3

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

خطوة 15.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

خطوة 15.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - \frac{- e^{8 x}}{32}}{8} + C$

خطوة 15.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - - \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

خطوة 15.4.2

اضرب $- - \frac{e^{8 x}}{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 1 \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

خطوة 15.4.2.2

اضرب $\frac{e^{8 x}}{32}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} (x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} x e^{8 x} + \frac{1}{32} e^{8 x}) + C$