حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.1.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

خطوة 1.1.1.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 1.1.1.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.6.1.2

اقسِم $A x + B$ على $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.6.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 1)}^{2}$ و $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.2.1

اضرب في $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.1.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.1.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

خطوة 1.1.6.2.2.4

اقسِم $(C x + D) (x^{2} + 1)$ على $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

خطوة 1.1.6.3

وسّع $(C x + D) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

خطوة 1.1.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

خطوة 1.1.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4.2

اضرب $C$ في $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

خطوة 1.1.6.4.3

اضرب $D$ في $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

خطوة 1.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

خطوة 1.1.7.2

انقُل $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

خطوة 1.1.7.3

انقُل $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{3}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = D$

خطوة 1.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + C$

خطوة 1.2.4

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = B + D$

خطوة 1.2.5

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.2.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $1 = A + C$ بـ $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.2.3

بسّط $1 = A + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1.1

احذِف الأقواس.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.1

أضف $A$ و $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

خطوة 1.3.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ في $0 = B + D$ بـ $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

خطوة 1.3.3.3

بسّط $0 = B + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1.1

احذِف الأقواس.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

خطوة 1.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1

أضف $B$ و $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

خطوة 1.3.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

خطوة 1.3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

خطوة 1.3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ و $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.1.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اضرب $0$ في $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.3

اقسِم $0$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

خطوة 1.5.4

احذِف الصفر من العبارة.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$