حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{2 x}$ و $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (2 x)$ و $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\sin (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\sin (2 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 4.2

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{2 x}$ و $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 x) e^{2 x} d x)$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (2 x)$ و $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2} \cdot - 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2} \cdot - 2$ خارج التكامل.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

خطوة 7.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

خطوة 7.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x))$

خطوة 7.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)$

خطوة 7.6.3

اضرب $\frac{2}{2}$ في $1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x)$

خطوة 7.7

اضرب $\frac{- 2}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

خطوة 7.8

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 x} (\sin (2 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

خطوة 9.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

خطوة 9.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

خطوة 9.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

خطوة 9.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

خطوة 9.1.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 9.1.4

اضرب $\frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 9.1.5

اجمع.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x) e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + 2 (- \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.8

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - 2 \frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.9

اجمع $- 2$ و $\frac{\cos (2 x) e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{2 x})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.10.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cos (2 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{2 x})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} + \frac{- \cos (2 x) e^{2 x}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.10.2.4

اقسِم $- \cos (2 x) e^{2 x}$ على $1$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 9.1.11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $\frac{\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}}{4} + C$ بالصيغة $\frac{1}{4} (\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\sin (2 x) e^{2 x} - \cos (2 x) e^{2 x}) + C$