حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\cos^{3} (u_{1})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

أخرِج عامل $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

خطوة 12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

خطوة 12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\sin^{3} (4 x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

خطوة 13.4

اضرب $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

خطوة 13.4.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$