حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{3} (x) \cos^{5} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int \sin^{3} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\cos (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int \sin^{3} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{3} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 5

وسّع $u^{3} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${(1 - u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.8

انقُل $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 (- u^{2})) + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.9

انقُل الأقواس.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.10

انقُل $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} \cdot 1) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.11

انقُل $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.12

انقُل الأقواس.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.13

انقُل $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

خطوة 5.14

انقُل $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.15

انقُل الأقواس.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 5.16

انقُل الأقواس.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} + u^{3} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.17

انقُل $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.18

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.19

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} + 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.20

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int u^{3} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.21

أخرِج السالب.

$\int u^{3} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{3 + 2} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.23

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - 1 \cdot 1 u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.24

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.25

أخرِج السالب.

$\int u^{3} - u^{5} - (u^{3} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.27

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} - 1 \cdot - 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.28

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + 1 u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.29

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.30

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

خطوة 5.31

أضف $3$ و $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 5.32

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{5 + 2} d u$

خطوة 5.33

أضف $5$ و $2$ .

$\int u^{3} - u^{5} - u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 5.34

اطرح $u^{5}$ من $- u^{5}$ .

$\int u^{3} - 2 u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 5.35

أعِد ترتيب $- 2 u^{5}$ و $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} - 2 u^{5} d u$

خطوة 5.36

انقُل $u^{3}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{5} + u^{3} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{7} d u + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{8} (x)}{8} - \frac{\sin^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} \sin^{8} (x) - \frac{1}{3} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$