حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sec^{5} (x) d x$

خطوة 1

طبّق قاعدة الاختزال.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (x) d x$

خطوة 2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (x)$ و $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x)$

خطوة 4

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x)$

خطوة 5

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x)$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x)$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (x)$ و $\sec (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x)$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x)$

خطوة 9

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x)$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب $\sec (x)$ و $- 1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

خطوة 10

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x)$

خطوة 11

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x)$

خطوة 12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

خطوة 13

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x)$

خطوة 14

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x)$

خطوة 15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x)$

خطوة 16

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 17

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

خطوة 18

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

خطوة 19

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x))$

خطوة 20

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 20.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

خطوة 21

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (x) d x$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C)$

خطوة 22

اضرب $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ في $1$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C)$

خطوة 23

بسّط.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

لكتابة $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 24.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

اضرب $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 24.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 24.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2 + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 24.4

انقُل $2$ إلى يسار $\tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

خطوة 25

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} (2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))) + C$