حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4}{x^{3} + 4 x} d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{1}{x^{3} + 4 x} d x$

خطوة 2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + 4)}$

خطوة 2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6.1.2

اقسِم $A (x^{2} + 4)$ على $1$ .

$1 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6.3

انقُل $4$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.1.6.4.2

اقسِم $(B x + C) (x)$ على $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

خطوة 2.1.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

خطوة 2.1.6.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.6.1

انقُل $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

خطوة 2.1.6.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

خطوة 2.1.7

انقُل $4 A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

خطوة 2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 2.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 4 A$

خطوة 2.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = 4 A$

خطوة 2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = 4 A$

خطوة 2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{4}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$0 = \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

خطوة 2.3.4

أوجِد قيمة $B$ في $0 = \frac{1}{4} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{4} + B = 0$ .

$\frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

خطوة 2.3.4.2

اطرح $\frac{1}{4}$ من كلا المتعادلين.

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = 0$

خطوة 2.3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} C = 0$

خطوة 2.3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}, C = 0$

خطوة 2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{1}{4 x} + 0}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{(- \frac{1}{4}) \cdot x + 0}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4} + 0}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.2.2

أضف $- \frac{x}{4}$ و $0$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{x}{4}}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

خطوة 2.5.4

اضرب $\frac{1}{x^{2} + 4}$ في $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{(x^{2} + 4) \cdot 4}$

خطوة 2.5.5

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

خطوة 2.5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)}$

خطوة 2.5.7

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{x}$ .

$4 \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{x}{4 (x^{2} + 4)} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x^{2} + 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 8.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 9.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $4$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| u |)) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| x |) - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{1}{8} \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\ln (| x^{2} + 4 |)$ و $\frac{1}{8}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

خطوة 15.2

لكتابة $\frac{\ln (| x |)}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |)}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

خطوة 15.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اضرب $\frac{\ln (| x |)}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

خطوة 15.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$4 (\frac{\ln (| x |) \cdot 2}{8} - \frac{\ln (| x^{2} + 4 |)}{8}) + C$

خطوة 15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{8} + C$

خطوة 15.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 (2)} + C$

خطوة 15.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 15.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (| x |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

خطوة 15.6

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| x |)$ .

$\frac{2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (2 \ln (| x |) - \ln (| x^{2} + 4 |)) + C$