حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{2} - 3 x + 2$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					-	$4 x$	-	$4$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x - 4$

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					+	$4 x$	+	$4$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x$	+	$2$
					+	$4 x$	+	$4$
							+	$6$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x - 4 + \frac{6}{x + 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{6}{x + 1} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 d x + \int \frac{6}{x + 1} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + \int \frac{6}{x + 1} d x$

خطوة 5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 x + C + 6 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6 \ln (| u |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6 \ln (| x + 1 |) + C$