حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.7.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

خطوة 1.9

اضرب $e^{- x^{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

خطوة 1.10.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.4.2.3

انقُل $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.4.2.4

اطرح $2 x e^{- x^{2}}$ من $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3} e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.8

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

انقُل $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.8.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.8.3

أضف $1$ و $3$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.3.2

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.9

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.11

أضف $1$ و $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.12

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.13

اضرب $e^{- x^{2}}$ في $1$ .

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f''' (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.3.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 (e^{- x^{2}} (x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.3.3

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x^{2} + 12 (x^{2} (e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.3.4

أضف $12 e^{- x^{2}} x^{2}$ و $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.4.1

انقُل $e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.3.4.2

أضف $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ و $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = - 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $- 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$ .

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{4} e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.8

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

انقُل $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.8.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.8.3

أضف $1$ و $4$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.2.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2} e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.2

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

انقُل $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.3.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

خطوة 4.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} e^{- x^{2}}$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

خطوة 4.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

خطوة 4.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

خطوة 4.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

خطوة 4.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

خطوة 4.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

خطوة 4.4.6

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

اضرب $- 2$ في $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{5} (e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.2

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 (e^{- x^{2}} (x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.3

اضرب $- 2$ في $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.4

اضرب $2$ في $24$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 (e^{- x^{2}} (x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.5

اطرح $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ من $- 32 e^{- x^{2}} x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.5.1

انقُل $e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 x^{3} e^{- x^{2}} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.5.2

اطرح $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ من $- 32 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.3.6

أضف $48 e^{- x^{2}} x$ و $12 e^{- x^{2}} x$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{4} (x) = 16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.5.5

أعِد ترتيب العوامل في $16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$ .

$16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$