حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \cos (y) + y \cos (x) = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y) + y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \cos (y) + y \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + \frac{d}{d x} [y \cos (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) + y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y)$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (y) y' - y \sin (x) + \cos (x) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) - y \sin (x) + y' \cos (x) + \cos (y) = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $y \sin (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (y) + y' \cos (x) + \cos (y) = y \sin (x)$

خطوة 5.2.2

اطرح $\cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (y) + y' \cos (x) = y \sin (x) - \cos (y)$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (y) + y' \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (y)$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (x)$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x \sin (y)) + y' (\cos (x))$ .

$y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$ على $- x \sin (y) + \cos (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (y) + \cos (x)) = y \sin (x) - \cos (y)$ على $- x \sin (y) + \cos (x)$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) + \cos (x))}{- x \sin (y) + \cos (x)} = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x \sin (y) + \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x \sin (y) + \cos (x))}{- x \sin (y) + \cos (x)} = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y \sin (x)}{- x \sin (y) + \cos (x)} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- x \sin (y) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \sin (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + \cos (x)}$

خطوة 5.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\cos (x)$ .

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- \cos (x))}$

خطوة 5.4.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \sin (y)) - 1 (- \cos (x))$ .

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- (x \sin (y) - \cos (x))}$

خطوة 5.4.3.6

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.6.1

أعِد كتابة $- (x \sin (y) - \cos (x))$ بالصيغة $- 1 (x \sin (y) - \cos (x))$ .

$y' = \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - \cos (x))}$

خطوة 5.4.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{x \sin (y) - \cos (x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x) - \cos (y)}{x \sin (y) - \cos (x)}$