حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{4} + x^{2} y = x + 3 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{4} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (x + 3 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{4} + x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (4 y^{3} y') + y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (4 y^{3} y') + y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$4 \cdot x y^{3} y' + y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2.6

اضرب $y^{4}$ في $1$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + y (2 x)$

خطوة 2.3.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$4 x y^{3} y' + y^{4} + x^{2} y' + 2 y x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + 3 y'$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y' + 1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y = 3 y' + 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $3 y'$ من كلا المتعادلين.

$y^{4} + 4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 1$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $y^{4}$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} x y' + x^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 1 - y^{4}$

خطوة 5.2.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} x y' + x^{2} y' - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{3} x y' + x^{2} y' - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{3} x y'$ .

$y' (4 y^{3} x) + x^{2} y' - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2}) - 3 y' = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y'$ .

$y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2}) + y' \cdot - 3 = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (4 y^{3} x) + y' (x^{2})$ .

$y' (4 y^{3} x + x^{2}) + y' \cdot - 3 = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (4 y^{3} x + x^{2}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$ على $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3) = 1 - y^{4} - 2 x y$ على $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ .

$\frac{y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3)}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 y^{3} x + x^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (4 y^{3} x + x^{2} - 3)}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - y^{4}}{4 y^{3} x + x^{2} - 3} - \frac{2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - y^{4} - 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y^{4} - 2 x y}{4 y^{3} x + x^{2} - 3}$