حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x y) + x^{7} = y^{7}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y) + x^{7}) = \frac{d}{d x} (y^{7})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x y) + x^{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + 7 x^{6}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y + 7 x^{6}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$7 y^{6} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$7 y^{6} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 7 y^{6} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$7 x^{6} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 7 y^{6} y'$

خطوة 5.2

اطرح $7 y^{6} y'$ من كلا المتعادلين.

$7 x^{6} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 7 y^{6} y' = 0$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $7 x^{6}$ من كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6}$

خطوة 5.3.2

أضف $y \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (x y) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (x y) - 7 y^{6} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 7 y^{6} y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 7 y^{6})$ .

$y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$ على $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$ على $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6})}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6})}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 7 x^{6} + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6}) + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6}) - (- y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (7 x^{6}) - (- y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.6

أعِد كتابة $- (7 x^{6} - y \sin (x y))$ بالصيغة $- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - 7 y^{6}}$

خطوة 5.5.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 y^{6}$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - (7 y^{6})}$

خطوة 5.5.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \sin (x y)) - (7 y^{6})$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

خطوة 5.5.3.10

أعِد كتابة $- (x \sin (x y) + 7 y^{6})$ بالصيغة $- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

خطوة 5.5.3.11

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

خطوة 5.5.3.12

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{7 x^{6} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 7 y^{6}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{6} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 7 y^{6}}$