حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x y^{2}) = y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x y^{2}$ .

$- \sin (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$- \sin (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 2.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y') - \sin (x y^{2}) y^{2}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (x y^{2}) (x y y') - \sin (x y^{2}) y^{2}$

خطوة 2.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2})$

خطوة 3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2}) = y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2})$ .

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y^{2} \sin (x y^{2}) = y'$

خطوة 5.2

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y^{2} \sin (x y^{2}) - y' = 0$

خطوة 5.3

أضف $y^{2} \sin (x y^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y' = y^{2} \sin (x y^{2})$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y y' \sin (x y^{2})$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) - y' = y^{2} \sin (x y^{2})$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) + y' \cdot - 1 = y^{2} \sin (x y^{2})$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$ على $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$ على $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1)}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1} = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1)}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1} = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x y \sin (x y^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1}$

خطوة 5.5.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1 (1)}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)}$

خطوة 5.5.3.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.4.1

أعِد كتابة $- (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 1 (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)}$

خطوة 5.5.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{2 x y \sin (x y^{2}) + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{2 x y \sin (x y^{2}) + 1}$