حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + y}$ في صورة ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.6.3

انقُل ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $1 + y'$ في $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

خطوة 4.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

خطوة 4.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

خطوة 4.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.4

أعِد ترتيب $1$ و $y'$ .

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2.3

انقُل $y$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2.4

انقُل $x^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2.5

انقُل $y^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اطرح $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 6.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 6.3.4

اقسِم كل حد في $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ على $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ على $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.4.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$