حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{9 - x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{9 - x}$ في صورة ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 9 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.3

انقُل ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.2

اجمع $\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ و $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 16

اضرب ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 17

لكتابة ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اجمع ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اضرب ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

انقُل ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

بسّط ${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

انقُل $2$ إلى يسار $9 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2

اطرح $2 x$ من $- x$ .

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x + 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.3.2

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x) + 3 (6)$ .

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.5

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.7

أعِد كتابة $- (x - 6)$ بالصيغة $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$