حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 6 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 5$ و $g (x) = x^{2} + 6 x$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x + 0) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6 \cdot 1)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (6 x)) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 (x \cdot x)) + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 x^{2}) + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + (- x^{2} - 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

وسّع $(- x^{2} - 5) (2 x + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x + 6) - 5 (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.6.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.6.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.6.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.4

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.6

اضرب $- 5$ في $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{2} + 0 - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

أضف $12 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{12 x^{2} - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $6 x^{2}$ من $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} - 10 x - 30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $- 30$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 15)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x \cdot x + 6 x)}^{2}}$

خطوة 3.6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $6 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x \cdot x + x \cdot 6)}^{2}}$

خطوة 3.6.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x (x + 6))}^{2}}$

خطوة 3.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x + 6)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{x^{2} {(x + 6)}^{2}}$