حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 6 x + 12}{x - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 6 x + 12$ و $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 12] - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 6 x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 6$ و $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x - 4) (2 x - 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 6) - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

انقُل $- 6$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $- 4$ في $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اطرح $8 x$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $12$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24 + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 14 x$ و $6 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 24 - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اطرح $12$ من $24$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

حلّل $x^{2} - 8 x + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $- 8$ .

$- 6, - 2$

خطوة 3.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$