حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} \ln (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \ln (2 x) (2 x)$

خطوة 3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x \ln (2 x) + x$