حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

خطوة 2

اجمع $2$ و $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 5$ و $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اضرب $x^{2} + 2$ في $1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8.3

اضرب $\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ في $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5

اضرب $x^{2} + 2$ في ${(x^{2} + 2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $x^{2} + 2$ في ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $x^{2} + 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

خطوة 5.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.2.2

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.3

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.4

وسّع $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.6.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.7

اضرب $2$ في $- 10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.8

اضرب $- 1$ في $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.9

اضرب $10$ في $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.5.10

اضرب $- 10$ في $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.6

اطرح $100 x$ من $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.4.7

اطرح $10 x^{2}$ من $- 20 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.2

أخرِج العامل $2$ من $- 30 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.3

أخرِج العامل $2$ من $- 96 x$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.4

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.6.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 15 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 48 x$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.12

أعِد كتابة $10$ بالصيغة $- 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.14

أعِد كتابة $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

خطوة 6.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$