حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\sin (x))}^{\ln (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\sin (x))}^{\ln (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 5

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 7

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x})$

خطوة 8

اجمع $\ln (\sin (x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 9.2

اجمع $e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}$ و $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (x) \csc (x) \cos (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$