حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 x^{3} e^{- x}$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{3} e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$6 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$6 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$6 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{3} (- e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 (x^{3} (e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $6$ .

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 e^{- x} x^{2}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$ .

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 x^{2} e^{- x}$