حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) (x^{2} + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.1}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.1}{x}])$

خطوة 2.6

بما أن $\frac{1}{3.1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3.1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3.1} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.1}{x}])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.1}{x}])$

خطوة 2.8

اضرب $\frac{1}{3.1}$ في $1$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} + \frac{d}{d x} [\frac{3.1}{x}])$

خطوة 2.9

بما أن $3.1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3.1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3.1 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} + 3.1 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.10

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} + 3.1 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} + 3.1 (- x^{- 2}))$

خطوة 2.12

اضرب $- 1$ في $3.1$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 x^{- 2})$

خطوة 3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.1} + \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 \frac{x}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{x}{3.1} x + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $2$ و $\frac{x}{3.1}$ .

$\frac{2 x}{3.1} x + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{2 x}{3.1}$ و $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + 2 \frac{3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.7

اجمع $2$ و $\frac{3.1}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + \frac{2 \cdot 3.1}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.8

اضرب $2$ في $3.1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + \frac{6.2}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.9

اجمع $\frac{6.2}{x}$ و $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + \frac{6.2 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.10

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + \frac{6.2 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.10.2

اقسِم $6.2$ على $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + 6.2 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - 3.1 \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.11

اجمع $- 3.1$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + 6.2 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} + \frac{- 3.1}{x^{2}})$

خطوة 4.3.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + 6.2 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - \frac{3.1}{x^{2}})$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x^{2}}{3.1} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.1} - \frac{3.1}{x^{2}}) + 6.2$