حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$7 \cos (x y) = 3 x + 8 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (7 \cos (x y)) = \frac{d}{d y} (3 x + 8 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $7 \cos (x y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$7 (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$7 (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 7 (\sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$- 7 \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 7 \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.5.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- 7 \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- 7 \sin (x y) (x + y x')$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 7 \sin (x y) x - 7 \sin (x y) (y x')$

خطوة 2.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 8 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 x' + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $8 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x' + 8 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x' + 8 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$3 x' + 8$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x' = 3 x' + 8$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$ .

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) = 3 x' + 8$

خطوة 5.2

اطرح $3 x'$ من كلا المتعادلين.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8$

خطوة 5.3

أضف $7 x \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x'$ من $- 7 y x' \sin (x y) - 3 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x'$ من $- 7 y x' \sin (x y)$ .

$x' (- 7 y \sin (x y)) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x'$ من $- 3 x'$ .

$x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3 = 8 + 7 x \sin (x y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3$ .

$x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ على $- 7 y \sin (x y) - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ على $- 7 y \sin (x y) - 3$ .

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7 y \sin (x y) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 y \sin (x y)$ .

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 3}$

خطوة 5.5.3.3

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)$ .

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y) + 3)}$

خطوة 5.5.3.5

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

أعِد كتابة $- (7 y \sin (x y) + 3)$ بالصيغة $- 1 (7 y \sin (x y) + 3)$ .

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 1 (7 y \sin (x y) + 3)}$

خطوة 5.5.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$